Cuando un juego no tiene punto de silla, la teoría de juegos aconseja a cada jugador asignar una distribución de probabilidad sobre su conjunto de estrategias. Vamos a expresar esto de la siguiente forma:
Xi = probabilidad de que el jugador A use la estrategia i ( i = 1,2,…,m)
yi = probabilidad de que el jugador B use la estrategia j ( j = 1,2,…,n) donde n y m son los números de estrategias disponibles.
Vamos a empezar con el juego (2 x n) en el que el jugador A tiene dos estrategias, siendo la recompensa para este mismo jugador.
Suponemos que el jugador A mezcla las estrategias A1 y A2 con sus probabilidades respectivas x1 y 1 – x1, siendo 0 ≤ x1 ≤ 1. A su vez el jugador B mezcla sus estrategias con sus respectivas probabilidades.
En este caso, la recompensa esperada por A correspondiente a la j-ésima estrategia pura de B se calcula de la siguiente manera:
(a1j – a2j) x1 – a2j, j = 1,2,…,n
El jugador A trata así de determinar el valor de x1 que maximice las recompensas mínimas esperadas:
Max min {(a1j – a2j)x1 – a2j}
Tenemos un juego de 2 x 4 en el que la recompensa es para el jugador A.
B1 | B2 | B3 | B4 | Mínimo | |
A1 | -1 | 2 | 2 | 3 | -1 |
A2 | 6 | 4 | 3 | 2 | 2 |
Máximo | 6 | 4 | 3 | 3 |
No hay punto de silla es decir el juego no está estrictamente determinado, no hay solución de estrategia pura, por lo que debemos mezclar estrategias. Las recompensas esperadas por A correspondientes a las estrategias puras de B, son:
RELACION DE ECUACIONES |
|Estrategia pura de B |Recompensa esperada por A | |
|1 |-2x1 + 4 | |
|2 |-x1 + 3 | |
|3 |-x1 + 2 | |
|4 |-7x1 + 6 | |
Se iguala las ecuaciones número 2 y 4 y nos resulta lo siguiente
-x1+3=-7x1+6
-x1+7x1=6-3
6x1=3
X1=3/6
X1=0.5
La solución óptima del jugador A mezcla A1 y A2 con las probabilidades 0.5 y 0.5, respectivamente. El valor V correspondiente del juego se determina sustituyendo x1 = 0.5 en cualquiera de las funciones de las líneas B3 y B4, con lo que se obtiene:
V = 0.5 + 2 = 2.5
V = -7(0.5) + 6= 2.5
Fuente: Tomado Última actualización: septiembre 2007
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